Бройни системи
Бройната система е система от знаци и правила за писане на числа.
Непозиционна бройна система
Непозиционната бройна система е тази, при която стойността на цифрата не зависи от нейното място в поредицата. Такива бройни системи са Римската иГръцката.
Позиционна бройна система е тази, при която стойността на цифрата се определя от нейното място в поредицата. Броят на различните цифри в една позиционна система се нарича основа на на тази бройна система
Най- популярната за писане и смятане на числа е десетичната бройна система (БС).
Името й произлиза от броя на цифрите: 0,1,2…,9- 10 на брой.
Пример 1:
Умножаваме всяка цифра със степен на 10, в зависимост от позицията на цифрата в числото.
Умножаваме всяка цифра със степен на 10, в зависимост от позицията на цифрата в числото.
Знакът (10) означава, че числото е десетично.
Това правило ще ползваме по- късно отново.
Двоичната бройна система е аналогична на десетичната:
!Цифрите са две на брой: 0,1.
!Големината на числото зависи не само от цифрите, които участват в него, но и от позициите на които стоят.
Бройни системи при които позицията е от съществено значение за големината на числото, се нарича позиционна бройна система.
Всяко десетично число има съответен запис в двоична бройна система.
Забележете логиката, по която следват 2-ичните представяния.
8 ще бъде първото четирицифрено двоично число, най- малкото такова е 1000.
Продължете по същата логика и попълнете таблицата до край.
За 16 трябва да получите 10000.Забележете, че червените 10-ични числа са първите с двоично представяне, с 1 цифра повече от предходното число.
Каква е връзката между тях?
Всички са степени на 2:
Предположете как се представя 32 в 2-ична БС? Защо?
Преобразуване на числа от 2-ична БС в 10-ична БС:
Като имаме предвид Пример 1, по аналогия ще представим число от 2-ична БС в 10-ична БС.
Пример 2:
Не бъркай!
Винаги започвай отдясно наляво
Всяко число повдигнато на 0-ва степен е 1!
Винаги започвай със степен 0
За проверка: най- високата степен е с 1 по- малко от броя на цифрите
Преобразуване на числа от 10-ична БС в 2-ична БС:
132(10) ще делим на 2 докато стигнем до 1.
Важни са остатъците от делението, които могат да са само 0 или 1. Защо?
Пример 3:
Започваме от червената единица и в обратен ред записваме остатъците от делението.
Така получаваме 2-чното представяне на числото.
Отговор: 132(10)=10000100(2)
Не бъркай!
Не пропускай да запишеш всички остатъци
Съществуват и други позиционни бройни системи.
Например 8-ична: с цифрите 0,1, 2…7
16-ична: с цифрите 0,1,2…9 и буквите A, B, C, D, E, F.
Методите за преобразуване в 10-ична БС и обратно са аналогични.
Съществуват и непозиционни бройни системи,
при които големината на числото не зависи от позициите на които стоят цифрите,
а от други правила.
Например: Ето някои от правилата на Римска бройна система (която е непозиционна)
-IV, IX- когато по- малко стои пред по- голямо, цифрите се изваждат
-VII, XVI- когато по- голямо стои пред по- малко, цифрите се събират
-Не могат да се записват повече от три еднакви знака последователно и др.
-Знаците с които могат да се пишат римски числа са: I, V, X и т. н.
Има ли нужда от двоичната бройна система?
Тя се изучава защото всяка една информация, която следва да се обработи от компютъра, се кодира в двоична БС.
По този начин информацията се предава на импулси, асоциирайки 0 като “няма сигнал” и 1 като “има сигнал”.
Допълнение за любознателни:
16- ична бройна система:
знаци {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}. където А=10, B11=, C=12, D=13, E=14, F=15
Преобразуване от 10-ична в 16-ична:
278(10)=12C(16)
300 | 12 =C
18 | 2
1
Преобразуване от 16-ична в 10-ична:
12С(16)=С.16^0+2.16^1+1.16^2=12.1+2.16+1.256=300(10)
Преобразуване от 2-ична в 16-ична и обратно:
1 вариант: 2-ична–>10-ична –>16-ична
2 вариант: 1101101(2) Разделяме числото на четворки отдясно наляво.
В случая: 110, 1101. Преобразуваме всяко от тези числа в 16-чна бройна система: 110=6, 1101=13=D(16) ,т.е. 1101101(2)=6D(16)
Обратно, преобразуването на числа от 16-ична до 2-ична може да се сведе до преубразуването на всяка 16-чна цифра в четворка двоични цифри(добавят се нули отпред ако е необходимо, за да се сведе до четворка) напр. D6(16)=1101|0110(2)
Двоична бройна система - упражнение
Зад. 1. На коя цифра завършва двоичният запис на четно число? А на нечетно?
Зад. 2. Кое е най-голямото двоично число, което може да се запише с 5 цифри?
Зад. 3. Намерете десетичните стойности на числата, записани в двоична бройна система:
а) 1012; б) 11012; в) 101012; г) 111102; д) 1001012; е)11011012.
а) 1012; б) 11012; в) 101012; г) 111102; д) 1001012; е)11011012.
Зад. 4. Представете в двоична бройна система числата:
а) 710; б) 1210; в) 2510; г) 10010; д) 12810; е)100010.
а) 710; б) 1210; в) 2510; г) 10010; д) 12810; е)100010.
Зад. 5. Колко на брой двоични числа с най-много 8 цифри могат да се запишат?
Зад. 6. Поканени сте на рождения ден на свой съученик. След като купувате за подарък шоколадова торта, с разочарование установявате, че не може да си позволите да купите толкова свещи, колкото са годините на рожденика: разполагате с 5 лв., а една свещ струва 1 лв. Как ще излезете с чест от това положение?
